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數學遊戲創造力

 

前言

  數學被稱為科學之母,可是大多數的人對於數學是害怕多於喜愛,因為他們對於數學的印象只有艱澀繁瑣的計算和做不完的練習題。但是數學也可以是非常有趣的,像現在很流行的「數獨」遊戲,從頭到尾都是數學的應用與變化,可是當它變成遊戲的時候就沒有人會覺得數學枯燥了。

  1月27日起,本館和永真教育基金會將合作推出「數學、遊戲、創造力」特展,運用各種數學原理設計出兼具趣味與教育意義的展示和遊戲,以創新的手法包裝被民眾視為畏途的數學內容,希望利用寒假期間推出這項特展,讓學生和一般社會大眾可以經由輕鬆有趣的遊戲「玩」數學,進而激發在生活中體驗數學和發揮創意的興趣與能力,使學習數學變得趣味盎然而引人入勝。

  歡迎您蒞臨參觀,一起體驗數學的趣味!

 

畫橢圓

如何畫橢圓?

  先定好要作為焦點的兩個點,拿一條線把兩端綁在點上面,拿一枝筆抵住線往外頂把線繃緊,滑動筆尖在桌面上畫出的就是一個橢圓。 橢圓形有個特性就是,從一個焦點到邊上任何一點再到另一個焦點的總長度都一樣。所以我們可以利用這個特性來畫橢圓。

橢圓撞球台

  把兩顆球放在桌上畫有標示的兩點上,從任意角度撞擊其中一個球,看能不能撞到另一個球?

  在橢圓邊上任一點畫出切過邊緣的「切線」以及和切線垂直的「法線」,我們會發現從兩個焦點聯過來的直線會分在法線的兩邊,而且不管位在橢圓上的哪一點,這兩條線和法線之間的夾角∠A和∠B都是一樣的。當球從左邊的焦點F1撞過來的時候,∠A被稱為「入射角」,反彈出去的∠B就是「反射角」。理想的碰撞入射角會等於反射角,所以從F1出發的球反彈後一定會朝著另一個焦點F2而去,就算你隨便亂打都能夠打得到球了。

畫橢圓1畫橢圓2

 

等時擺

  古代的時鐘都有一個晃來晃去的大擺錘,這個擺錘擺盪的週期是固定的,所以可以做為計時的工具。可是這種擺錘擺動的「圓弧線」並不真正具有等時性,真正具有等時性的是「擺線」,只是因為擺動幅度很小的時候兩者很接近,所以就把圓弧線當作擺線來用了。

  荷蘭物理學家惠更司利用前面提到的「從擺線上任一點出發到底不的時間一樣長」的特性設計出不受擺幅大小影響的真正等時擺。被等時塊夾住的線走的是「擺線」(黑色),而一般鐘擺走的是「圓弧線」(淺灰色)。擺幅不大的時候兩者幾乎無法分辨,但是擺幅大的時候差異很明顯,這時用一般鐘擺來計時就會產生較大誤差。

  如果(A)把擺線上下翻轉過來,切一半,(B)左右對調,在中間夾一條掛著擺錘的線。這時候做出來的鐘擺具有真正的「等時性」,測量時間當然更準確。

等時擺1等時擺2等時擺3

迷宮賽車

迷宮圖(圓形)

  古希臘克里特島上的邁諾斯國王有一座神秘的迷宮,迷宮中有一頭會吃人的牛頭人身怪物,邁諾斯國王要求雅典定期獻上小孩子給牛頭怪當食物。勇敢的雅典王子特修司不忍心讓孩子成為牛頭怪的食物,便自願混在獻祭的人群中去刺殺牛頭怪。

  邁諾斯的公主愛上了特修司,於是偷偷的給了他一把寶劍和一團毛線。寶劍當然是殺牛頭怪用的,毛線團則是讓他把線頭綁在迷宮入口,這樣殺了牛頭怪之後特修司才找得到路出來。

  沒有人見過真正的克里特迷宮,不過有人認為古錢幣上的這個圖案就是紀念克里特迷宮的圖樣。

  走迷宮最怕的就是同樣的路線一再重複,只要不重複同樣的錯誤,很快就會找到最快到達目的地的路線,數學上稱之為「最優路徑」(Geodesic)。試試這個迷宮賽車遊戲,看你打到牛頭怪再回到起點要花多少時間?

  你也可以把迷宮中的幾個閘門調換一下位置,試試不同的遊戲路線。

迷宮賽車1迷宮賽車2

七巧板

  七巧板一開始並不叫做七巧板。目前可考的最早資料是宋朝有位進士黃伯思,他曾設計了一套六張有三種形狀的宴客用長桌叫做「燕几」,這六張桌子可以按需求組合出各種長短、寬窄,因為變化多端非常方便,於是便流傳了下來。

  後來明朝有位知府叫做嚴澄,他也設計了一套十三張六種規格的「蝴蝶几」。這十三張桌子不是三角形就是梯形,完全沒有長方形,可是卻能任意搭配出長、方、八邊、馬蹄等各種形狀變化就更多樣化了。

  後來的木匠起了仿效之心,於是把它裁成可以隨身攜帶的小木片,變成了設計造型的設計工具。後來幾經改良,變成了現在的七巧板。七巧板後來傳到世界各地,又衍生出了更多的變化形式。

七巧板1七巧板2七巧板3

費式數列

  十三世紀的義大利數學家費伯那奇 (Fibonacci)提出了一個有趣的問題:假定一對兔子出生滿兩個月就可以生一對小兔子,之後每一個月又可以再生一對小兔子。假定現在有一對剛生下來的小兔子,請問一年以後應該有幾對兔子?

  年初,只有1對小兔子。

  一月,小兔子還沒長大,所以還是只有1+0=1對。

  二月,小兔子長成大兔子,開始生下一對小兔子,共有1+1=2對。

  三月,大兔子又生了一對小兔子,而小兔子還沒長大,所以共有2+1=3對。

  四月,第一對小兔子也長大開始生小兔子,這個月生了兩對,總共有3+2=5對。

  五月,第二對小兔子也長大了,所以有三對大兔子會生小兔子,總共有5+3=8對。

  六月,第四月生的小兔子也長大了,所以這個月生了5對,總共有8+5=13對。

  ......

  你有沒有發現,每個月的小兔子總數就是前一個月加上前前一個月的兔子數目?繼續加下去,你能算到多少?

  「費氏數列」是一組規則得令人感到神奇的數列。如果把費氏數列的任一項除以其前一項,將會越來越接近一個數字:1.618…,這個數字被稱為「黃金比例」。

  如果一個矩形的兩邊比例是黃金比例,當我們用長邊的長度再做一個正方形時,這個正方形加上原來的小矩形會變成一個大矩形,這個大矩形的兩邊比例又是「黃金比例」。反之,如果我們有一個黃金矩形,則我們可以把它分成一個正方形和一個矩形,這個小矩形又是一個黃金矩形。如果把黃金矩形的角像這樣連起來,像不像鸚鵡螺外殼的螺線?

  在自然界中,一花一果都看得到費氏數列和黃金比例的身影。

費式數列1費式數列2

2019 / 10 / 07 更新

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